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主动学习增强的双重控制在纯角度初始相对轨道确定中的应用

摘要

文章针对纯角度测量下初始相对轨道确定（IROD）的可观测性挑战，提出了一种主动学习增强的双重控制方法。该方法利用主动学习技术动态设计输入激励信号（离线与在线结合），在无需额外硬件或预定义机动的条件下增强系统可观测性。通过结合双重控制技术，在保证目标跟踪的同时实现状态可观测性。基于Clohessy-Wiltshire方程建立追踪器与目标航天器的相对动力学模型，推导视线向量测量方程，构建最小二乘状态估计框架。数值仿真验证了该方法在V-bar保持场景下的有效性，初始距离估计相对平均绝对误差低于2.5%，并展示了其对不同初始距离和观测周期的鲁棒性。

1. 引言

航天器数量与太空碎片的快速增长对碰撞规避和任务安全提出了严峻挑战。基于被动光学相机的相对导航因体积小、功耗低和自主操作能力成为理想选择，但其纯角度测量特性（方位角与仰角）导致距离不可观测，尤其在同轨道面接近交会时更为突出。现有解决方案如相机偏移、立体视觉或预定义机动均存在硬件依赖、燃料消耗或适应性不足等缺陷。

文章提出主动学习（AL）增强的双重控制框架，创新性地解决纯角度初始相对轨道确定（IROD）的可观测性问题。核心贡献包括：

  • 首次将主动学习技术应用于航天器相对导航，动态设计输入激励信号以增强系统可观测性；
  • 结合双重控制技术，平衡目标跟踪与状态可观测性需求；
  • 建立基于脉冲输入的闭式解框架，实现初始状态的高效估计；
  • 通过数值验证展示方法对初始距离和观测周期的鲁棒性。

2. 纯角度IROD问题

目标是在初始时刻$t_0$估计追踪器与目标航天器的相对位置$\bm{r}(t_0)$和速度$\bm{v}(t_0)$。基于Clohessy-Wiltshire（CW）方程建立LVLH坐标系下的相对动力学模型：

\[ \begin{cases} \ddot{x} = -2n\dot{z} + u_x \\ \ddot{y} = -n^2 y + u_y \\ \ddot{z} = 3n^2 z + 2n\dot{x} + u_z \end{cases} \]

状态空间形式为：

\[ \dot{\bm{x}} = \mathbf{A}\bm{x} + \mathbf{B}\bm{u}, \quad \bm{x} = [x,y,z,\dot{x},\dot{y},\dot{z}]^T \]

视线向量（LOS）测量方程为：

\[ \mathbf{LOS}_i = \begin{bmatrix} \cos El_i \cos Az_i \\ \cos El_i \sin Az_i \\ \sin El_i \end{bmatrix} = \frac{\bm{r}(t_i)}{\|\bm{r}(t_i)\|_2} \]

采用脉冲输入$\bm{u}(t) = \sum_{l=1}^N \bm{c}_l \delta(t - (t_0 + lT))$，通过状态转移矩阵$\bm{\Phi}$推导相对位置/速度的闭式解：

\[ \bm{r}(t) = \bm{\Phi}_{rr} \bm{r}_0 + \bm{\Phi}_{rv} \bm{v}_0 + \sum_{j} \bm{\Phi}_{rv}(t - t_j) \bm{c}_j \]

\[ \bm{v}(t) = \bm{\Phi}_{vr} \bm{r}_0 + \bm{\Phi}_{vv} \bm{v}_0 + \sum_{j} \bm{\Phi}_{vv}(t - t_j) \bm{c}_j \]

3. 主动学习输入设计

3.1 离线实验设计

文章提出三种主动学习方法设计激励信号：

  1. 期望状态估计误差最小化：求解双层优化问题

    \[ \mathcal{U}^* = \arg\min_{\mathcal{U}} \frac{1}{M} \sum_j \|\hat{\bm{x}}_0^* - \bm{x}_0^j\|_2^2 + \frac{\rho}{MN} \sum_j \sum_k \|\bm{u}_k - \bm{u}_k^{ref}\|_2^2 \]

  2. 贪婪输出空间探索：最大化输出样本多样性

    \[ \mathcal{U}^* = \arg\min_{\mathcal{U}} -\frac{1}{MN} \sum_j \sum_k \sum_{h \neq k} \frac{1}{\|\bm{y}_k^j - \bm{y}_h^j\|_2^2 + \epsilon} \]

  3. 单步贪婪策略：实时优化输入

    \[ \bm{u}_k = \arg\max_{\bm{u} \in \Omega_u} \sum_{j=0}^k \|\bm{y}_{k+1} - \bm{y}_j\|_2^2 - \frac{\rho}{N} \|\bm{u} - \bm{u}_k^{ref}\|_2^2 \]

3.2 在线主动学习

结合双重控制的在线算法AL-IROD流程：

  1. 离线生成$N_i$个初始输入样本（被动学习或AL设计）
  2. 采集输出$\bm{y}_0,\dots,\bm{y}_{N_i-1}$
  3. 通过最小二乘估计初始状态$\hat{\bm{x}}_{0|N_i-1}$
  4. 在线迭代：
    • 测量当前输出$\bm{y}_k$
    • 更新状态估计$\hat{\bm{x}}_{0|k}$
    • 生成参考输入$\bm{u}_k^{ref}$（如PD控制器）
    • 求解优化问题获取$\bm{u}_k$：

      • \[ \bm{u}_k = \arg\max_{\bm{u} \in \Omega_u} \sum_{j=0}^k \|\hat{\bm{y}}_{k+1|k} - \bm{y}_j\|_2^2 - \frac{\bar{\rho}}{N} \|\bm{u} - \bm{u}_k^{ref}\|_2^2 \]

4. 数值验证

4.1 实验设置

  • 轨道参数：目标航天器近地圆轨道，半长轴6790.1km，偏心率0.001
  • 场景：V-bar保持（最坏可观测性场景）

    \[ \bm{r}_0 = [x_0, 0, 0]^T, \quad \bm{v}_0 = [0, 0, 0]^T \]

  • 控制器：PD跟踪控制器

    \[ \bm{u}_k^{ref} = -K_p (\bm{r}_k - \bm{r}^{des}_k) - K_d (\bm{v}_k - \bm{v}^{des}_k) \]

  • 对比方案：
    • $\mathcal{U}_1$：纯PD控制器
    • $\mathcal{U}_2$：PD+抖动
    • $\mathcal{U}_3$：PD+AL离线设计
    • AL-IROD：离线AL+在线双重控制

4.2 结果分析

控制性能（图2,4）：

  • AL-IROD的输入偏差$\|\bm{u}_k - \bm{u}_k^{ref}\|$显著低于抖动方案
  • AL-IROD与离线AL方案均能有效维持期望状态轨迹
  • 抖动方案出现控制性能退化

状态估计（图3）：

  • AL-IROD的初始状态估计误差收敛至$10^{-3}$ m/s量级
  • 闭环估计稳定性优于开环方案
  • 纯PD方案因激励不足导致估计失败

鲁棒性验证：

  • 初始距离（图5）：1-4km范围内，AL-IROD相对MAE<2.5%
  • 观测周期（图6）：100-700s采样时间下均保持稳定估计

5. 结论

文章提出的主动学习增强双重控制方法有效解决了纯角度IROD的可观测性问题：

  • 通过主动学习动态设计激励信号，避免预定义机动和额外硬件
  • 双重控制平衡目标跟踪与状态可观测性需求
  • V-bar场景下验证了方法的有效性及对初始距离、观测周期的鲁棒性
  • 初始距离估计相对误差低于2.5%，速度估计误差达$10^{-3}$ m/s

未来工作将扩展至蒙特卡洛实验设计、对比现有方法，并研究自适应模型预测控制（MPC）提升站位保持性能。

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