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状态约束非线性系统的固定时间事件触发控制

摘要

文章提出一种针对非严格全状态约束非线性系统的自适应固定时间控制方法。通过非对称非线性映射实现状态变换，结合RBF神经网络逼近不确定项。设计四类多阈值事件触发策略：固定阈值、相对阈值、切换阈值和自触发策略，显著降低控制指令更新频率。理论证明系统具有半全局实际固定时间稳定性（SPFTS），收敛时间与初始条件无关。仿真表明，在20,000次测试中触发频率降低42%-68%，跟踪误差小于0.05。

1. 引言

状态约束非线性系统的控制面临通信资源消耗与实时监控负担的挑战。文章提出固定时间事件触发控制框架，突破现有研究局限：1）非对称非线性映射处理非严格状态约束 2）四类多阈值触发策略优化通信效率 3）半全局实际固定时间稳定性证明。该方法在降低计算开销的同时确保预设时间内收敛。

2. 控制框架设计

2.1 状态约束变换

采用对数函数将状态约束转化为无约束系统：

\[ \begin{cases} w_i = \log\frac{\rho_{s1} + x_i}{\rho_{s1} - x_i} \\ \dot{w}_i = \underbrace{\frac{e^{w_i} + e^{-w_i} + 2}{\rho_{s1} + \rho_{s2}}}_{\Delta_i(w_i)} \dot{x}_i \end{cases} \]

其中$\rho_{s1},\rho_{s2}$为状态边界（如$\rho_{11}=1,\rho_{12}=2$）。该变换同时增强系统对初始偏差的鲁棒性。

2.2 固定时间控制器

基于反步法设计Lyapunov函数：

\[ V_n = \sum_{o=1}^{n} \frac{1}{2}z_o^2 + \sum_{o=1}^{n} \frac{1}{2\varepsilon_o}\tilde{\varphi}_o^2 \]

控制器与自适应律：

\[ \alpha_n = \frac{1}{\Delta_n(w_n)}\left(-k_{1,n}z_n^{2q-1} - \frac{z_n\hat{\varphi}_n}{2u_n^2}\Omega_n^T\Omega_n\right) \]

\[ \dot{\hat{\varphi}}_n = \frac{\varepsilon_n}{2u_n^2}z_n^2\Omega_n^T\Omega_n - \tau_n\hat{\varphi}_n \]

参数配置：$q=1.05,p=1.5,\tau_n=10$，确保系统满足SPFTS准则。

2.3 多阈值事件触发策略

定义测量误差$e(t)=d(t)-g(t)$，设计四类触发机制：

固定阈值：$t_{k+1}=\inf\{t \mid |e(t)| \geq \vartheta\}$（$\vartheta=5$）
相对阈值：$t_{k+1}=\inf\{t \mid |e(t)| \geq \theta|g(t)| + \vartheta_1\}$（$\theta=0.1,\vartheta_1=0.1$）
切换阈值：根据$|g(t)|$切换固定/相对阈值（$G=80$）
自触发：$t_{j+1}=t_j + \frac{\theta|g(t)|+\vartheta_1}{\max\{|d(t)|,\pi\}}$（$\pi=650$）

稳定性上界：$\dot{V} \leq -aV^q - bV^p + \Lambda$，其中$\Lambda$随策略变化（固定阈值：0.2785RΦ；自触发：0.557RΦ）。

3. 仿真验证

3.1 实验设置

二阶非线性系统：

\[ \begin{cases} \dot{x}_1 = \cos x_2 \\ \dot{x}_2 = g + \frac{1}{26}x_1^2x_2^2 + \frac{1}{5}\sin^2(x_1x_2)g + \frac{1}{2}x_1^2 \\ y = x_1 \end{cases} \]

参考轨迹：$x_r=0.5\sin(0.1t)\cos^2(0.6t)$，初始状态$x_1(0)=0.05,x_2(0)=0.5$。

3.2 关键结果

跟踪精度：相对阈值策略最优（误差<0.02），自触发策略计算量最小（图1）
触发频率：自触发策略更新次数最低（20000周期仅触发142次），较固定阈值降低68%（图3）
控制输入：事件触发区间内控制器保持恒定（图2）

4. 结论

文章提出的固定时间事件触发框架通过：

构建非对称状态变换与SPFTS稳定准则
设计四类自适应触发策略
实现通信效率与跟踪精度的平衡

在非严格状态约束系统中验证了固定时间收敛特性，为资源受限场景提供有效解决方案。