文章针对零均值随机三角阵列，推导了最大样本均值的弱大数定律(max-WLLN)和强大数定律(max-SLLN)。研究在三种依赖设定下展开：独立性、τ混合和物理依赖。文章首先忽略坐标间的依赖作为基准，随后在鞅、近鞅和混合坐标条件下改进k_n的界。最后，将结果应用于三个场景：α混合或物理依赖下回归残差的最大相关统计量的k_n界；将相关性筛选（边际回归）扩展到具有发散维度k_n→∞的物理依赖数据；在τ混合线性时间序列回归模型中，剔除固定维数冗余参数后检验高维参数。
文章研究高维三角阵列$\{x_{i,n,t}:1\leq t\leq n\}_{n\geq 1}$的最大样本均值收敛问题，其中维度计数器$i=1,...,k_n$满足$k_n\to\infty$。核心目标是建立形式为：
\[ \mathcal{M}_n := \max_{1\leq i\leq k_n} \left| \frac{1}{n} \sum_{t=1}^{n} x_{i,n,t} \right| \stackrel{p}{\to} 0 \quad \text{或} \quad \mathcal{M}_n \stackrel{a.s.}{\to} 0 \]
的最大弱大数定律(max-WLLN)和最大强大数定律(max-SLLN)。文章在三种依赖性框架下推进：独立序列、Dedecker-Prieur的τ混合以及Wu的物理依赖，重点分析可行序列$\{k_n\}$的收敛速率及其优化方法。
针对τ混合过程，文章建立几何混合衰减条件：
\[ \max_{1\leq i\leq k_n} \tau^{(p)}_{i,n}(m) \leq ae^{-bm^{\gamma_1}}, \quad \max_{i,t} \mathbb{P}(|x_{i,n,t}|>\epsilon) \leq d e^{-c\epsilon^{\gamma_2}} \]
其中$\gamma=(\gamma_1^{-1}+\gamma_2^{-1})^{-1}$控制尾部与记忆衰减的权衡。基于Fuk-Nagaev型Bernstein不等式，证明了当$\ln(k_n)\leq \mathcal{A}n$时$\mathcal{M}_n \overset{\mathcal{L}_1}{\to} 0$，且在$\gamma=1$时获得$\ln(k_n)=o(n)$的max-SLLN。
引入物理依赖测度：
\[ \theta^{(p)}_{i,n,t}(m) := \| x_{i,n,t} - x'_{i,n,t}(m) \|_p, \quad \Theta^{(p)}_{i,n,t} := \sum_{m=0}^{\infty} \theta^{(p)}_{i,n,t}(m) \]
在无坐标约束情形下，文章给出关键矩不等式：
\[ \left\| \max_{1\leq l\leq n} |Z_{i,l}| \right\|_p \leq \mathcal{B}_p n^{1/p' - 1/2} \max_t \Theta^{(p)}_{i,n,t} \]
其中$p'=p \wedge 2$。该结果导出$\mathcal{M}_n \overset{\mathcal{L}_p}{\to} 0$当$k_n = o(n^{p(1-1/p')}/\Theta_n^{(p)})$，并在次指数尾部条件下改进为$\sqrt{n}\mathcal{M}_n = O_p(\ln k_n)$。
通过引入坐标间依赖性约束，显著提升$k_n$的界：
考虑线性回归模型$y_t = \phi'_0 x_{t-1} + \epsilon_t$的残差白噪声检验：
\[ H_0: \mathbb{E} \epsilon_t \epsilon_{t-h} = 0 \ \forall h \leftrightarrow H_1: \exists h \ \mathbb{E} \epsilon_t \epsilon_{t-h} \neq 0 \]
基于统计量$\sqrt{n} \max_{1\leq h\leq k_n} |\hat{\rho}_n(h)|$。在α混合条件下获得$k_n = o(n^{1/9}/\ln^{1/3} n)$的Gaussian逼近，而物理依赖框架将界优化至$k_n = o(n)$。
将边际回归方法扩展到高维弱依赖数据：
\[ y_t = \delta_i + \phi_i x_{i,t} + v_{i,t}, \quad \hat{\phi}_i = \frac{\widehat{\text{cov}}(y,x_i)}{\widehat{\text{var}}(x_i)} \]
检验零假设$H_0: \text{cov}(y,x_i)=0 \ \forall i$。在$\mathcal{L}_p$-物理依赖条件下，文章建立检验统计量$\max_i |\sqrt{n}\hat{\phi}_i|$的极限分布，其收敛速率$k_n$由记忆衰减强度$\lambda$和尾部参数$b$共同决定：
\[ \ln(k_n) = o\left( n^{s(b,\lambda)} \right), \quad s(b,\lambda) = \frac{\lambda}{8+2\lambda} \frac{1}{(7/6)\vee(1+b)} \]
在部分线性模型$y_{n,t} = \delta'_{n,0} w_{n,t} + \theta'_{n,0} x_{n,t} + u_{n,t}$中，通过剔除固定维冗余参数$\theta_{n,0}$，构建多简约模型：
\[ y_{n,t} = \delta^*_{i,n} w_{i,n,t} + \theta^{*\prime}_{i,n} x_{n,t} + e_{i,n,t} \]
基于投影估计量$\hat{\delta}_{i,n}$的极大值统计量$\mathcal{T}_n = \max_i \sqrt{n} |\hat{\delta}_{i,n}|$检验$H_0: \delta_{n,0}=0$。在ρ-Lipschitz马尔可夫过程假设下，获得$\ln(k_n)=o(n^{s(b)})$的Gaussian逼近。
文章系统建立了高维阵列的最大大数定律，揭示了依赖结构与维度增长间的权衡机制。通过利用跨坐标依赖性（鞅/近鞅/混合），显著改进了传统联合界方法对$k_n$的限制。三大应用展示了理论结果在时间序列检验、高维筛选和参数推断中的创新价值，为弱依赖高维数据分析提供了新的方法论基础。