文章研究了SIRS流行病模型的参数识别和状态观测问题，提出了一种基于Lie导数的分析方法。该方法通过构建线性系统来恢复模型参数和初始条件，适用于部分观测场景。研究证明了SIRS模型在仅观测部分感染个体时的联合可识别-可观测性，并与SIR模型进行了对比分析。数值实验验证了理论结果在实际应用中的有效性，为流行病模型的参数估计和模型选择提供了新方法。
流行病数学模型在传染病研究中发挥着重要作用，其中SIRS模型作为经典的分室模型，能够描述免疫丧失的疾病传播动态。然而，模型参数的准确估计和状态重构面临挑战，特别是在仅有部分观测数据的情况下。
文章首先给出了非线性动力系统的可识别性和可观测性的形式化定义。可识别性指从观测数据中唯一确定模型参数的能力，而可观测性则关注从参数和观测数据中重构系统状态的可能性。
基于Lie导数的理论框架被提出用于分析系统的可观测性。该方法通过构建观测函数及其Lie导数的映射关系，建立了状态重构的理论基础。关键结果表明，当该映射在某个正不变集上为单射时，系统在该集合上是可观测的。
考虑标准SIRS模型，其中仅观测到感染个体的一个未知比例。文章证明了该模型在特定初始条件集合上的联合可识别-可观测性，这是以往文献中未解决的问题。
研究揭示了SIRS模型与SIR模型的关键区别：虽然两者在仅观测部分感染个体时都是可识别和可观测的，但SIR模型不具备联合可识别-可观测性。这一发现为早期区分两种模型提供了理论基础。
通过两类数值实验验证了理论结果：连续观测场景下的精确参数恢复，以及离散观测数据下的最小二乘估计。结果表明所提方法能够有效识别模型参数，同时也展示了早期区分SIR和SIRS模型的困难。
这项研究为流行病模型的参数估计和模型选择提供了新方法，特别是在数据有限的情况下。未来工作可考虑将方法扩展到含噪声数据和有界测量范围等更实际的场景。