文章系统研究Cayley卵形线的等距曲线（offsets）及其奇点性质。通过动态几何软件（GeoGebra）与计算机代数系统（Maple）的协同计算，揭示：1）等距曲线拓扑结构随距离剧烈变化，出现尖点、自交点等奇点；2）按离心率e=b/a将Cayley卵形线分为四类（e<1, e=1, 1<e<√3, e>√3），每类等距曲线有独特演化模式；3）提出尖点检测的曲率算法与自交点求解的数值方法，并给出Maple实现。结果首次完整描述此类8次曲线的等距奇点行为。
文章研究Cayley卵形线（焦点为$F_1, F_2$的8次平面曲线）的等距曲线，其定义为：
\[ \mathcal{O}_d = \left\{ B \mid \overrightarrow{AB} = d \cdot \overrightarrow{n_A}, A \in \mathcal{C} \right\} \]
其中$\mathcal{C}$为卵形线，$\overrightarrow{n_A}$为单位法向量，$d>0$为距离。核心挑战在于：卵形线光滑但等距曲线出现奇点。研究方法结合：
设焦点距离$2a$，离心率$e=b/a$，卵形线形态分类如下：
| 离心率范围 | 卵形线形态 | 等距曲线特征 |
|---|---|---|
| $e < 1$ | 两分离环 | 每环生成两平行曲线，随距离增大产生自交点 |
| $e = 1$ | 双纽线 | 小距离：1外环+2内环 → 大距离：斧形结构连接外扩环 |
| $1 < e < \sqrt{3}$ | 非凸Cassini型 | 距离增大时内曲线演化为三叶形→苹果形→沙漏形；外曲线顶部/底部出现伞状环 |
| $e > \sqrt{3}$ | 椭圆/圆形 | 外曲线始终平行；内曲线由平行→星形→沙漏形→卵形 |
尖点对应参数$t$满足曲率条件：
\[ \kappa(t) = -\frac{1}{d} \quad \text{其中} \quad \kappa(t) = \frac{x'y'' - x''y'}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}} \]
Maple实现代码核心：
\[kappa := (dx*ddy - ddx*dy)/(dx^2 + dy^2)^{(3/2)}\] \[t_cusps := solve(kappa = -1/d, t); // 过滤实数解\]自交点（crunode）需解方程组：
\[ \begin{cases} x_I(s) = x_I(t) \\ y_I(s) = y_I(t) \end{cases} \quad (s \neq t) \]
文章采用分段区间搜索策略：对参数空间划分区间，用Maple的fsolve求局部解，避免高次方程解析解困难。
研究发现两大技术挑战：
解决路径依赖软件优势互补：GeoGebra动态验证几何定义，Maple处理高次方程与曲率计算。此协作模式可推广至其他高次曲线研究。