文章研究了平面Cremona群中有限子群的共轭分类问题。通过引入Burnside形式主义和等变Sarkisov纲领，文章对不可迁、可迁非本原和本原三种类型的群作用进行了系统的分类。特别地，证明了非交换不可迁作用在Cremona群中共轭的充要条件是其Burnside不变量相同，而不同的非本原作用共轭当且仅当它们通过标准Cremona对合共轭。此外，还计算了PGL3中有限子群在Cremona群中的正规化子，并给出了其有限的判别条件。
平面Cremona群作为代数几何中研究最深入的对象之一，其有限子群的分类问题一直备受关注。文章旨在解决Dolgachev-Iskovskikh提出的公开问题：确定PGL3中有限子群作用在Cremona群中的共轭分类。
文章首先建立了G-簇和G-双有理映射的严格定义。对于给定的有限群G作用在光滑射影簇X上，Aut^G(X)和Bir^G(X)分别表示G-双正则和G-双有理自映射群。通过分析这些群到Aut(G)的自然同态，将共轭问题转化为计算Out(G)中像的问题。
对于有理G-曲面，文章回顾了等变极小模型纲领的基本结果。任何光滑有理G-曲面都双有理等价于一个G-德尔佩佐曲面或G-圆锥曲线丛，并通过三类基本的G-Sarkisov链进行分解。这些工具为后续的共轭分类提供了关键的几何实现手段。
基于Blichfeldt的分类，文章将PGL3中的有限子群作用分为三类：不可迁作用、可迁非本原作用和本原作用。对于每种类型，文章给出了具体的生成元描述，并证明了除少数例外情况外，同构的子群在PGL3中共轭。
文章证明了非交换不可迁作用在Cremona群中共轭的充要条件是其Burnside不变量相同。这一结果通过系统地分析稳定子群的分层结构和法丛权重实现。
对于可迁非本原作用，文章发现不同的作用在Cremona群中共轭当且仅当它们通过标准Cremona对合共轭。这一结论通过详细研究等变Sarkisov链和正规化子的结构获得。
本原作用的分类主要基于已有的等变极小模型纲领结果。文章补充了部分共轭性的证明，特别是对Hessian群子群的情况进行了详细分析。
作为应用，文章完全刻画了PGL3中有限子群在Cremona群中正规化子的有限性条件。此外，提出的Burnside形式主义为更一般的等变双有理分类问题提供了新的研究思路。