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Log Fano 平面上的 Delta 不变量计算

摘要

文章系统计算了射影平面上度d≤4的曲线与权重构成的不变量。通过建立针对不同奇点类型的精确公式，证明了该不变量可判定对的K-稳定性。计算结果被应用于del Pezzo曲面、三次三维簇、四次双覆盖等高维 Fano 簇的 K-稳定性分析，并展示了如何通过 Abban-Zhuang 方法将高维问题约化为曲面情形。

1. 引言

文章研究 log Fano 对 (ℙ², λC_d) 的 δ-不变量，其中 C_d 是度 d≤4 的平面曲线。δ-不变量是判断 K-稳定性的核心指标：当 δ(X,Δ)>1 时，(X,Δ) K-稳定。通过计算 ℙ² 上各类奇点曲线的 δ-不变量，建立了高维 Fano 簇 K-稳定性分析的统一框架。

2. 主要定理

2.1 δ-不变量的显式公式

对度 d≤4 的曲线 C_d 及 λ∈[0, lct]，文章给出 δ(ℙ², λC_d) 的闭式解：

直线 (d=1): δ = 3(1-λ)/(3-λ)
光滑二次曲线: δ ≡ 1 (λ≤3/4)
节点三次曲线 (A₁): δ ≡ 1
尖点四次曲线 (A₅):
若切线非分量: δ = (6/7)(4-6λ)/(3-4λ) (λ∈[3/8,2/3])
若切线是分量: δ = (3/4)(4-6λ)/(3-4λ)

2.2 奇点分类计算

针对不同奇点类型建立普适公式：

\[ \delta_P(\mathbb{P}^2,\lambda C) = \begin{cases} \frac{3(1-l\lambda)}{3-d\lambda} & \text{线分量重数 } l \geq 2 \\ \frac{3}{k} \cdot \frac{a-b\lambda}{c-d\lambda} & \text{AD奇点 } A_k/D_k \\ \min\left\{ \frac{A}{S}, \inf \frac{A_{\Delta}}{S_W} \right\} & \text{plt blowup 方法} \end{cases} \]

3. 应用

3.1 高维约化

通过 blowup 技术将三维簇的 δ-计算约化到曲面：

\[ \delta_P(\mathbb{P}^3,\lambda S_s) \geq \min\left\{ \frac{4(3-\lambda m)}{3(4-\lambda s)}, \delta(\mathbb{P}^2,\lambda C_m) \cdot \frac{4(3-\lambda m)}{3(4-\lambda s)} \right\} \]

其中 $m = mult_pS_s$, $C_m$是例外除子上的曲线。

3.2 K-稳定性判据

三次曲面 ($S_3$): 若仅有 A₁ 奇点，则 (ℙ³, λS₃) K-稳定
四次双覆盖: 若分支曲面 S₄ 有 Aₙ 奇点或一般三点，则 X K-稳定
二次曲面与三次超曲面交: 若 S 仅有一般双重点，则 δ>1

4. 证明方法

采用 Fujita 公式和 plt blowup 技术：

对奇点 P 构造加权爆破 π: X̃ → X
计算例外除子 E 的 log 典范阈值 A(X,λC)(E)
通过 Zariski 分解求体积函数 S(X,λC)(E)
建立局部 $δ_P = \inf {A(E)/S(E)}$

关键步骤涉及伪有效阈值 τ 和体积泛函 vol(P(u)|E - vF) 的精确计算。