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稳定超映射的模：代数超叠与虚维数

摘要

文章研究射影超概形上稳定超映射的模理论。核心成果包括：1) 构造稳定超映射的模超叠，证明其为代数超叠且具有分离对角（定理2.13）；2) 揭示模超叠的玻色约化是自旋曲线映射模上的线性纤维化（命题3.5），解释其非固有性；3) 基于Manin-Penkov-Voronov超Grothendieck-Riemann-Roch定理，形式计算模超叠的虚维数，其表达式在玻色目标情形下与弦论文献一致（公式5.2）。

1. 引言与主要结果

文章研究射影超概形 $\mathscr{Y}$ 上的稳定超映射——从带Neveu-Schwarz（NS）与Ramond-Ramond（RR）穿孔的SUSY曲线到 $\mathscr{Y}$ 的态射（定义2.8）。核心贡献如下：

构造模范畴 $\mathfrak{S}\mathfrak{M}_{g,\mathfrak{n}_{NS},\mathfrak{n}_{RR}}(\mathscr{Y},\beta)$ 并证明其为代数超叠（定义见[2]）：
定理2.13： 对射影超概形 $\mathscr{Y}$ 及超环 $\beta \in A_1(\mathscr{Y})$，模超叠 $\mathfrak{S}\mathfrak{M}(\mathscr{Y},\beta)$ 具有超概形式分离对角，且被 $\mathbb{G}L_{M|N}$-主丛覆盖。
刻画模超叠的玻色约化：
引理3.4： 超映射 $F$ 在普通概形 $S$ 上的数据等价于自旋映射 $F_{spin}: X \to Y$ 及 $\mathcal{O}_X$-模态射 $\lambda_F: \phi_{bos}^*\mathcal{F}_{\mathscr{Y}} \to \mathcal{L}$，其中 $\mathcal{O}_{\mathscr{X}} = \mathcal{O}_X \oplus \Pi\mathcal{L}$。
命题3.5： 玻色约化 $\mathfrak{S}\mathfrak{M}(\mathscr{Y},\beta)_{bos}$ 是叠态射 $\mathfrak{F}: \mathfrak{S}\mathfrak{M}_{bos} \to \mathfrak{M}^{spin}(Y,\beta_0)$ 的线性纤维化，其纤维为仿射概形 $\operatorname{Spec}(\mathcal{S}ym(\mathcal{Q}))$。
基于超GRR定理的虚维数公式：
定理4.17： 对光滑超簇态射 $f: \mathscr{X} \to \mathscr{Y}$，有超GRR公式：
\[ \operatorname{ch}^S(f_!^S x) = f_*(\operatorname{ch}^S(x) \cdot \operatorname{td}(\operatorname{cl}^S(T_f))) \] 由此导出稳定超映射模的虚维数（忽略穿孔）：
\[ \operatorname{vdim} \mathfrak{S}\mathfrak{M}_g(\mathscr{Y},\beta) = (1-g)(r-3) - \Pi(1-g)(s-2) + (1-\Pi) \int_{\beta_0} [\operatorname{ch}_1(T_Y) - \operatorname{ch}_1(\mathcal{F}_{\mathscr{Y}})] \]

2. 稳定超映射模超叠

2.1 SUSY曲线与超环

定义2.1： 带穿孔的稳定SUSY曲线由四元组 $(f: \mathscr{X} \to \mathscr{S}, \{\mathscr{X}_i\}, \{\mathscr{Z}_j\}, \bar{\delta})$ 给出，其中 $\bar{\delta}: \Omega_f \to \omega_f(\mathscr{Z})$ 满足超共形条件，且线丛 $\omega_{\mathscr{X}/\mathscr{S}}^2(\mathscr{W} + \mathscr{Z})$ 强相对丰富。

定义2.5： 超概形 $\mathscr{X}$ 的超环群为 $A_*(\mathscr{X}) = Z_*(\mathscr{X}) / W_*(\mathscr{X})$，其中 $h$-超环形式为 $\alpha = \sum (m_i - \Pi n_i)[Y_i]$。存在真态射的前推 $f_*: A_*(\mathscr{X}) \to A_*(\mathscr{Y})$（命题2.7）。

2.2 模超叠的代数性

稳定超映射定义为 SUSY 曲线配态射 $\phi: \mathscr{X} \to \mathscr{Y}$ 满足 $\phi_*[\mathscr{X}_s] = \beta$ 及强丰富性条件（定义2.8）。关键步骤：

对角态射 $\Delta: \mathfrak{S}\mathfrak{M}(\mathscr{Y},\beta) \to \mathfrak{S}\mathfrak{M}(\mathscr{Y},\beta) \times \mathfrak{S}\mathfrak{M}(\mathscr{Y},\beta)$ 超概形且分离（引理2.11）。
构造 $\mathbb{G}L_{M|N}$-主丛 $\mathscr{U}_r \to \mathfrak{U}_r$，其中 $\mathfrak{U}_r$ 由满足 $\mathcal{L}_F^{\otimes r}$ 纤维极强且非循环的稳定超映射组成（引理2.12）。

3. 玻色约化与自旋映射

玻色约化 $\mathfrak{S}\mathfrak{M}(\mathscr{Y},\beta)_{bos}$ 通过遗忘态射 $\mathfrak{F}$ 纤维化于自旋映射模叠 $\mathfrak{M}^{spin}(Y,\beta_0)$ 上：

定义3.2： 稳定自旋映射 $F_{spin} = (f: X \to S, \{W_i\}, \{Z_j\}, \mathcal{L}, \varpi, \psi)$ 要求线丛 $\mathcal{L}_F = \omega_{X/S}(W+Z) \otimes \psi^*\mathcal{L}_Y^{\otimes 3}$ 强丰富。

由命题3.3，$\mathfrak{M}^{spin}$ 是固有Deligne-Mumford叠。但 $\mathfrak{S}\mathfrak{M}_{bos}$ 仅当 $\mathcal{F}_{\mathscr{Y}} = 0$（即 $\mathscr{Y}$ 为玻色目标）时固有，此时两者等价。

4. 超GRR定理与虚维数

4.1 超K理论与示性类

定义4.1： 超K群 $K_*^S(\mathscr{X}) = K_*(X) \oplus \Pi K_*(X)$，真态射 $f$ 诱导前推 $f_!^S$（定义4.1）。
定义4.8： 局部自由层 $\mathcal{E}$ 的Chern类和Chern特征：
\[ c_t(\mathcal{E}) = \Pi^{\mathcal{E}} c_t(\mathcal{E}_0 - \Pi \mathcal{E}_1), \quad \operatorname{ch}(\mathcal{E}) = \operatorname{ch}(\mathcal{E}_0) - \Pi \operatorname{ch}(\Pi \mathcal{E}_1) \]

4.2 超GRR公式

对光滑超簇态射 $f: \mathscr{X} \to \mathscr{Y}$，定理4.17给出：
\[ \operatorname{ch}^S(f_!^S x) = f_*(\operatorname{ch}^S(x) \cdot \operatorname{td}(\operatorname{cl}^S(T_f))) \] 其中Todd特征 $\operatorname{td}$ 由线丛的乘法性及函子性定义（引理4.14）。

5. 模超叠的虚维数

对闭浸入 $\phi: \mathscr{X} \hookrightarrow \mathscr{Y}$（$\mathscr{X}$ 为SUSY曲线），假设形变由正合列控制：
\[ 0 \to \mathcal{G}_{\mathscr{X}} \to \phi^* T_{\mathscr{Y}} \to \tilde{\mathcal{N}}_\phi \to 0 \] 虚维数为 $\chi^S(\tilde{\mathcal{N}}_\phi)$。结合超GRR得：
\[ \operatorname{vdim} \mathfrak{S}\mathfrak{M}_g(\mathscr{Y},\beta) = (1-g)(r-3) - \Pi(1-g)(s-2) + (1-\Pi) \int_{\beta_0} [\operatorname{ch}_1(T_Y) - \operatorname{ch}_1(\mathcal{F}_{\mathscr{Y}})] \] 带穿孔情形的推广见公式(5.2)。当 $\mathscr{Y} = \mathbb{P}^{r|s}$ 时，虚维数明确计算（例5.1），且玻色约化维数为 $\dim \mathfrak{M}^{spin} + s(d + \mathfrak{n}_{RR}/2)$，印证其非固有性。